Линейный масштаб

К.С. ЛАЗАРЕВИЧ

Линейный масштаб — это мерная линейка на чертеже (плане, карте, изображении механизма, детали и т.д.), при помощи которой можно, не прибегая к вычислениям, измерить любую линейную величину. Казалось бы, тезис общеизвестный. Но за последнее время смысл линейного масштаба потерялся. В его определении забыты ключевые слова: не прибегая к вычислениям.
Открываем школьный учебник и видим карту России — очень мелкую, потому что нагрузка карты несложная, масштаб вполне оправдан. Рядом с ней линеечка длиной в один сантиметр (кстати, не очень точно вымеренный), у одного ее конца подписан нуль, у другого 920 км. Ученик захотел по этой карте измерить расстояние от Москвы до устья Волги. (Не будем учитывать, что во всех картографических проекциях расстояния искажаются, сейчас речь не о том.) Получилось 1,4 см. Значит, 920 км надо умножить на 1,4. Получится 1288 км. Можно взять циркуль и вышагивать по карте девятьюстами двадцатью километрами, каждый раз прибавляя их к предыдущему шагу. А где же «не прибегая к вычислениям»?
Может быть, это только в издательстве «Просвещение», для которого карты — не главная продукция, не умеют строить масштабы?
«Атлас мира», Федеральная служба геодезии и картографии (1999). Линейный масштаб разбит строго на сантиметры (здесь к длине сантиметра не придерешься, она безукоризненна), возле первого сантиметра подписано 110, возле второго — 220, возле третьего — 330. Измерь в сантиметрах, умножь на 110 — и все в порядке. Но ведь именно для того, чтобы не было вычислений, чтобы ничего не нужно было умножать, делается линейный масштаб. Умножить же можно и имея один именованный масштаб, там ясно сказано: в одном сантиметре 110 километров.
Новые веяния? Нет, ничто не ново под луной. «Географический атлас для учителей средней школы», Главное управление геодезии и картографии СССР (1954). Карта Африки в масштабе одна девяностомиллионная. У следующих друг за другом сантиметров подписано: 900, 1800, 2700... И опять умножай, на этот раз на 900. Уступка здравому смыслу сделана только одна: сантиметровый отрезок влево от нуля разбит не на десять частей и не на пять, а на три, чтобы цифра получилась более или менее круглая — 300 км: будь здесь 5 частей, каждая из них составляла бы очень неудобную величину —180 км. Здесь же, если получилось три больших отрезка (2700 км) и два маленьких (по 300), то в сумме будет 3300 км. И опять не обошлось без вычислений, хоть и не очень сложных.
А линейный масштаб для того и нужен, чтобы не вычислять, а прямо измерять.
Вот линейный масштаб (для иллюстрации используем рисунок, который уже ранее публиковали, но ничего нового и не нужно; дай Бог, чтобы все всерьез разобрались со старым). Берем циркулем-измерителем расстояние на карте между двумя интересующими нас точками. Ставим левую ножку циркуля на нуль, правая, вероятно, окажется между делениями — на рис. 1 между 400 и 500 км. Отрезок, отходящий влево от нуля, разделен на 5 частей, каждая из них соответствует
20 километрам. Сдвинем циркуль влево, чтобы правая ножка оказалась на ближайшем делении масштаба (это будет 400 км); тогда левая отодвинется от нуля на полтора деления, то есть на величину, соответствующую 30 км. Сложив отрезки вправо и влево от нуля, получим 430 км.

Пусть отрезки, на которые разбита линейка, не будут равны сантиметру; при некруглом численном масштабе (а некруглыми можно считать и 1 : 750 000, и 1 : 3 000 000, и многие другие привычные масштабы) это даже необходимо. Отрезок на линейке масштаба должен соответствовать круглому расстоянию, измеренному на карте, — желательно единице с нулями, двойке с нулями, пятерке с нулями. В масштабе 1 : 750 000 расстояние 10 км будет выражено отрезком 10 км/750 000 = 13,33 мм; линейку нужно разбить именно на такие отрезки. При масштабе 1 : 90 000 000 — на отрезки 11,11 мм, каждый из них будет соответствовать 1000 км. А такой же отрезок, отходящий влево от нуля, разбить на 10 или 5 частей — в первом масштабе они будут соответствовать 1 или 2 км, во втором — 100 или 200 км.
Умели же картографы сто лет назад строить линейные масштабы. В «Большом всемирном настольном атласе А.Ф. Маркса», выпущенном под редакцией блестящих географов Э.Ю. Петри и Ю.М. Шокальского* (1905), некоторые карты даны в масштабах, очень неудобных для вычисления (например, 1 : 2 750 000, попробуй сосчитай), но приведены линейные масштабы в километрах, верстах; если это Германия, то и в не употребляемых сейчас немецких географических милях (1/15 градуса экватора), если Англия, то и в английских милях. В каждой системе мер на линейном масштабе отрезки соответствуют 10 или 100 единицам измерения, на 10 частей разбиты и отрезки влево от нуля. Измеряй в чем хочешь — и никаких вычислений. А к уже названному неудобному масштабу (это карта Великобритании) дано пояснение: «10 Километров земных — 3,64 Миллим. на карте». Берем циркулем интересующее нас расстояние на карте, прикладываем к линейному масштабу, построенному в тех единицах, в которых нам нужно, и получаем расстояние без всяких вычислений.
Как построить линейный масштаб, если известен численный?
Рассмотрим только что приведенный пример. В 10 километрах 10 миллионов миллиметров. Умножим эту величину на масштаб, или — это одно и то же — разделим на знаменатель масштаба, и получим те самые 3,64 мм. Не нужно откладывать эту величину на бумаге сначала по линейке, а потом циркулем-измерителем; наверняка получится набегающая ошибка. Нужно вычислить, чему будут равны 20, 30, 40 и так далее километров — до того расстояния, которому должна соответствовать полная длина линейного масштаба. Точность вычисления — до 0,1 мм, точнее все равно по линейке не отложите**. Вот как это будет выглядеть.

Не надо бояться того, что разница между соседними числами в одних случаях 3,6, в других 3,7 — это результат округления, на линейке масштаба вы эту разницу не заметите.
Воспроизвести в газете линейные масштабы, помещенные в атласе Маркса, не удастся — слишком тонки там линии и мелки цифры. Но на рис. 2 приведен пример того, как строятся линейные масштабы для одного и того же, столь же неудобного для вычислений численного масштаба 1 : 840 000 (он соответствует старой русской двадцативерстной карте, в одном дюйме 20 верст). Масштаб построен для километров, верст (1,067 км), английских уставных миль (1,609 км), морских миль (1,852 км)***.
Как видите, отрезки на разных линейках разные, ни на одной, даже на километровой, они не равны сантиметру, потому что масштаб строился применительно к старой системе мер, но они всюду позволяют мерить расстояния с точностью не меньшей, чем до одной единицы измерения.

Рис. 2. Линейные масштабы для двадцативерстной карты (в одном дюйме 20 верст, или 1 : 840 000)

Нас интересует расстояние между двумя пунктами, нанесенными на карту. На карте это, например, будет 63 мм, но мы ничего не измеряем, только берем это расстояние по карте циркулем (или отмечаем на крае бумажной полоски). Прикладываем это расстояние к линейному масштабу, соответствующему километрам. Левая ножка циркуля на нуле, правая между цифрами 50 и 60. Сдвигаем циркуль влево, пока правая ножка не окажется на делении 50, и видим, что левая отошла от нуля на полтора маленьких деления, каждое из которых соответствует двум километрам. Значит, полная длина отрезка составляет 53 км.
Если нужно определить расстояние в верстах, делаем то же самое на второй линейке; здесь нам повезло: ничего сдвигать не надо, получилось ровно 50 верст. В других единицах получается: 33 английские мили, 28,6 морских миль^****. И все это без единого вычисления, прямым измерением по карте.
Линейный масштаб должен строиться так, чтобы можно было измерить расстояние, ничего
не вычисляя, иначе он не нужен. И не страшно, если отрезки на этом масштабе будут равны не сантиметру, а какой-то величине, которая кажется неудобной. Зато измерять будет удобно.

*Статьи о них см. в номерах «Географии» 22 и 29 за этот год.
**Исходную величину хорошо бы вычислить даже не до сотых, а до тысячных, иначе из-за округления тоже может получиться набегающая ошибка.
*** В некоторых атласах давался линейный масштаб для измерения даже во французских лье (4,444 км; это старая мера, она употреблялась до введения в конце XVII в. метрической системы, но часто упоминается, например, в романах А. Дюма).
**** Или чуть меньше 12 лье.