Главная страница «Первого сентября»Главная страница журнала «География»Содержание №31/2004

Инструментарий


Длина береговой линии

Измерима ли она?
Вправе ли мы приводить в учебниках длину
береговой линии и не оконфузимся ли,
спрашивая эту цифру с учеников?

К.С. ЛАЗАРЕВИЧ

На уроках географии мы оперируем множеством статистических показателей. Большинство из них на вид очень просты и четки: столько-то миллионов человек, столько-то миллионов тонн угля, столько-то километров. Но это если не вдумываться. А стоит только копнуть любую цифру поглубже — и она перестает быть четкой. Иногда же — рассыпается в прах. Вот примеры.
Открываем недавно изданный и только что поступивший в продажу Атлас мира (М.: ФГУП Производственное картосоставительское объединение «Картография», 2003.). В таблице «Государства и территории мира» находим: «Столица Франции — Париж (2 125,2 тыс. жителей). Если ученик приведет на экзамене такую цифру, будет ли экзаменатор удовлетворен? Ведь Париж — один из крупнейших центров Европы и никак не меньше Петербурга. Но в приведенной цифре нет ошибки: это Париж в административных границах города Парижа. А в границах реально сложившегося городского сгустка — это десятимиллионник. Очень многое зависит от того, как считать. Сказанное не значит, что мы можем принять от ученика в качестве ответа любую цифру в диапазоне от 2,2 до 10; приводя то или иное число, учащийся должен понимать, что за ним стоит, что и как измерено.
Миллион тонн высококалорийного угля и угля бурого — разные миллионы.
Но вот, казалось бы, километры. Километр — он и в Африке километр. И что уж измеренное в километрах можно подвергнуть сомнению? Но, оказывается, и приводя длины в километрах, автор учебника должен сначала подумать. Учитель же, пользуясь учебником, также должен подвергнуть цифру критическому анализу, прежде чем транслировать ее ученикам и требовать ее запоминания. Читаем учебник для 10-го класса: «Канада выходит к трем океанам, и общая протяженность ее береговой линии (около 250 тыс. км) не имеет себе равных в мире». Как была измерена береговая линия, что мерили, как мерили, чем мерили? Как вообще можно измерить береговую линию?

Неправильные кривые по карте можно измерять при помощи курвиметра — колесико этого прибора катят по кривой, тщательно выписывая каждую извилину. Однако извилистость береговой линии часто бывает столь велика, что курвиметром по ней не пройти. Приходится вышагивать по кривой циркулем-измерителем. Наиболее удобная длина шага — 2 мм. В разных масштабах этот шаг соответствует, конечно, разным расстояниям, точной длины такое измерение никогда не даст, так как каждый шаг спрямляет кривую на небольшом отрезке, но относительная погрешность более или менее сохраняется.
Давайте, ради примера, попробуем измерить длину береговой линии Чукотского а.о. Возьмем карту из Школьного атласа по географии России (масштаб 1 : 22 000 000) и двухмиллиметровым шагом циркуля (44 км) прошагаем все чукотское побережье. Результат будет 4300 км (98 шагов циркуля). Произведем то же измерение по карте масштаба
1 : 7 500 000. Здесь мы уже насчитаем 345 двухмиллиметровых (15 км) шажков, то есть
5 200 км. Логично предположить, что если в измерениях будет использована карта еще большего масштаба, измеренная береговая линия станет еще протяженнее.
Поставим еще один эксперимент. Длина береговой линии Ленинградской обл. по карте
1 : 22 000 000 — 300 км, по карте 1 : 2 500 000 — 555 км, а по топографической карте
1 : 500 000 — 670 км. При этом длина береговой линии одного только Выборгского залива (где берега особо изрезаны заливчиками и бухточками), измеренная по топографической карте, составляет 338 км, тогда как по школьному атласу — 65 км (разница более чем в
5 раз!).
Таким образом, наблюдается закономерное увеличение длины измеренной береговой линии с укрупнением масштаба. Причина не только в том, что двухмиллиметровый шаг циркуля соответствует всё меньшей величине на местности, но главным образом в том, что сама линия, даже если ее очень точно измерить и перевести в соответствии с масштабом в километры, действительно становится длиннее (рис. 1). На карте России у берега Ленинградской обл. угадываются лишь Выборгский залив, Невская губа и небольшие изгибы южного берега Финского залива. На карте масштаба 1 : 2 500 000 очертания Выборгского залива уже довольно сложные, а на юге ясно видны Копорская и Лужская губы. На полумиллионной карте в пределах Выборгского залива множество других мелких заливов, некоторые из которых имеют собственные имена (зал. Балтиец, бухта Ключевская), и лишь южный берег Финского залива выглядит мало изменившимся по сравнению с предыдущим масштабом, там изрезанность берега гораздо меньше.

Береговая линия Выборгского залива. Снята с карты масштаба 1 : 500 000, изображение уменьшено. Показана также береговая линия, перенесенная с карты масштаба 1 : 22 000 000

Рис. 1

Береговая линия Выборгского залива

Снята с карты масштаба 1 : 500 000, изображение уменьшено.
Показана также береговая линия, перенесенная с карты масштаба 1 : 22 000 000

Как же установить точную длину береговой линии?
Этой целью задался английский метеоролог Ричардсон, выбрав в качестве полигона свой родной остров — Великобританию. Он и пришел к выводу об увеличении длины береговой линии с увеличением масштаба карты, по которой эту длину измеряют (рис. 2). Есть ли предел такого увеличения? Едва ли. Длину береговой линии увеличивает каждая небольшая песчаная коса, вдающаяся в море, каждая ложбинка, создающая крохотный залив, каждый камешек, который обтекает вода. Даже на самой крупномасштабной карте их не видно, между тем в действительности все эти неровности береговой линии существуют.

Береговая линия Великобритании с разной степенью схематизации

Рис. 2

Береговая линия Великобритании
с разной степенью схематизации

Приводят много примеров того, как использование математических методов позволяет сделать географические исследования более убедительными, более достоверными. Здесь же произошло обратное: географическое исследование — изучение длины береговой линии — способствовало возникновению нового математического понятия. Английское название этого понятия — fractal, по-русски же оно еще окончательно не устоялось и встречается в трех вариантах: фрактал (родительный и творительный падежи будут фрактала, фракталом), фракталь в мужском роде (фракталя, фракталем) и фракталь в женском роде (фрактали, фракталью); за последнее время, кажется, склоняются к фракталу.
Фрактал — это линия, каждый фрагмент которой бесконечно усложняется, длина каждого фрагмента и всей линии постоянно увеличивается. В качестве примера можно привести фигуру, обычно называемую снежинкой Коха, хотя название это неверно: построила эту снежинку в начале ХХ в. Хельга фон Кох, и склонять ее фамилию не следует.
Возьмем равносторонний треугольник. Разделим каждую его сторону на три равные части и на среднем отрезке каждой стороны построим равносторонний треугольник. Получится правильная шестиконечная звезда, фигура с шестью выпуклыми углами и шестью входящими. Разделим каждую ее сторону (а этих сторон 12) на три равные части и на среднем отрезке каждой стороны снова построим равносторонний треугольник. Получится фигура уже с 48 сторонами, с 18 выпуклыми и 30 входящими углами. Повторяя эту операцию бесконечное число раз (сделать это можно, конечно, лишь мысленно), мы получим фигуру, площадь которой постоянно увеличивается, но все медленнее, постепенно приближаясь к некоторому пределу (рис. 3). Периметр же этой фигуры увеличивается беспредельно, так как каждый раз, когда мы строим на стороне фигуры новый равносторонний треугольничек, сколь бы мал он ни был, три равных отрезка этой стороны заменяются на четыре таких же и потому длина каждой стороны (и следовательно всего периметра) увеличивается в 4/3 раза, а любое число больше единицы в степени, равной бесконечности (а построение мы делаем бесконечное число раз), стремится к бесконечности.

Снежинка Кох — разные стадии построения

Рис. 3

Снежинка Кох —

разные стадии построения

Граница снежинки будет представлять собой что-то вроде широкой, мохнатой линии, заполняющей собою всю приграничную область этой фигуры. Понятия «широкая линия», «толстая поверхность», казалось бы, абсурдные с точки зрения классической математики (линия там не имеет ширины, а поверхность — толщины), с развитием теории фракталов приобрели права гражданства. Считается, что линия одномерна, она имеет только длину, положение точки на ней определяется одной координатой; поверхность двумерна, она имеет площадь, положение точки на ней определяется двумя координатами; тело трехмерно, оно имеет объем, нужны уже три координаты. А теория фракталов вводит понятие дробной размерности: линия не стала двумерной, но уже перестала быть одномерной. Неподготовленному человеку это довольно трудно понять (нельзя же чихнуть полтора раза), но если мы вспомним, как ведет себя береговая линия — не только на карте, но и в природе, как она меняется, если смотреть на нее, присев на корточки, потом выпрямившись во весь рост, потом поднявшись на гору, потом взлетев на самолете или космическом корабле, мы не столько поймем, сколько почувствуем, какую сложную систему представляет собой эта линия; для нее определенно мало одной характеристики — длины.
И теория фракталов, родившаяся из географических исследований, уже сама приходит на помощь географии. Еще не разработан, но определенно имеет перспективы метод изучения рельефа как фрактала. Рассматривая рельеф в общем виде, рисуя его на мелкомасштабной карте, мы видим горные хребты, плато, глубокие долины. В среднем масштабе вырисовываются уже холмы, небольшие долины, овраги. Еще крупнее — и видны кочки, ветровая рябь на песке. Но и это не предел: есть отдельные камешки, песчинки. В практическом отношении все это важно потому, что нужно научиться правильно отбирать объекты для изображения на картах разных масштабов; одна из главных ошибок составителей карт — несоответствие содержания карты ее масштабу, карта или недогружена, или перегружена.
А что же все-таки делать с длиной береговой линии? Отказаться ее измерять, потому что она неизмерима?
Нет, это не выход. Просто, приводя длину береговой линии, следует всегда указывать, по картам какого масштаба она измерялась, каким способом. И обязательно оговаривать при этом, учитывалась береговая линия островов или нет. Без указания масштаба карт и того, учтены острова или нет, всякие данные о длине береговой линии теряют смысл. К сожалению, даже в источниках, претендующих на сугубую солидность, можно встретить страшные нелепости. Например, известный сайт ЦРУ «The World Factbook». Здесь для каждой страны и океана приведены данные по береговой линии, но способ измерения не указан. В результате береговая линия Канады оказывается больше 200 тыс. км, Северного Ледовитого океана — 45,4 тыс. км, Атлантического — 111,9 тыс. км (данные приведены — не подумайте плохого! — с точностью до километра). Канаду считали с учетом островов, это несомненно; как считали океаны, неизвестно, но береговая линия двух из трех океанов, омывающих Канаду, в сумме меньше береговой линии одной только Канады. Для Норвегии приведена цифра 21 925 км и дано примечание: «Материк 3419 км, большие острова 2413 км, длинные фьорды, многочисленные маленькие острова и мелкие изгибы [в буквальном переводе зазубрины] береговой линии 16 093 км». В сумме получается как раз указанная общая длина береговой линии. Но вот почему берега фьордов — не часть береговой линии материка, почему длина зазубрин приплюсована к длине береговой линии материка, какие острова считать большими — обо всем этом приходится только догадываться. Совершенно бесспорные данные в этой таблице приведены только для Андорры, Австрии, Ботсваны, Венгрии, Свазиленда и подобных им стран, выхода к морю не имеющих, — написано: «0 км».