Задачи по географии для
интеллектуальных марафонов

И.А. ЛЕЕНСОН
доцент химического факультета
Московского государственного университета
им. М.В. Ломоносова

Начало этой подборке было положено много лет назад, когда я составлял задания по разным предметам для Интеллектуального марафона школьников Москвы. Впоследствии я «испытывал» задачи на разных школьниках. В этой подборке — задачи, в которых основной компонент — география. Из некоторых я намеренно убрал дополнительные задания, относящиеся, например, к русскому языку (о происхождении терминов, об однокоренных словах и т.п.), однако некоторые межпредметные связи все же остались.
Приводимые решения, как правило, даются значительно более подробно (и с дополнительными комментариями для расширения кругозора), чем требовались от школьников. После некоторых ответов приводятся нелепые или просто смешные (на мой взгляд) ответы, которые школьники давали в разные годы.

1. Курс — норд-вест

Куда попадет человек, если все время будет двигаться на северо-запад:

а) на Северный полюс;

б) на Южный полюс;

в) на экватор;

г) обогнет земной шар и вернется в исходную точку.

Свой выбор поясните.

(Указание: здесь и в последующих задачах вода не считается препятствием, ее можно преодолеть на любом судне, а зимой — по льду.)

Правильный ответ — а.

Человек будет приближаться к Северному полюсу по спирали. Теоретически это приближение будет бесконечным, и собственно точки полюса человек не достигнет, хотя расстояние до полюса может стать сколь угодно малым.

Линия на сфере, пересекающая все меридианы под постоянным углом, именуется локсодромией.

Из ответов школьников

— Вообще-то, Земля круглая, но это только если идти с компасом.

— Северо-запад находится в 50 км севернее экватора.

— Если идти на северо-запад, то придешь в Британию или Голландию — в любом случае, в Европу.

— Если идти на северо-запад, то придешь на юго-восток, а если обогнуть Землю, то опять придешь на северо-запад, но если обогнуть только половину Земли, то все же придешь на юго-восток.

— Это смотря откуда идти; так что ответ, скорее всего, «а», но может быть и «б», хотя «в» предпочтительнее... Нет, все-таки «г»!

2. Триста за сто

Человек прошел 100 км на север, 100 км на восток и 100 км на юг, после чего очутился ровно в 100 км от исходной точки. Где может быть эта точка:

а) в любом месте земного шара;

б) в 150 км от Северного полюса;

в) в 50 км южнее экватора;

г) в 100 км от Южного полюса;

д) в 50 км южнее экватора и на льду Северного Ледовитого океана.

Свой выбор поясните.

Правильный ответ — д. Проще всего объяснить первую часть ответа («50 км южнее экватора»). Меридианы, выходящие из Северного полюса, постепенно расходятся, а после экватора снова сходятся на Южном полюсе. Симметричный путь получается, если он начат в 50 км южнее экватора. В любом другом случае человек окажется от исходной точки либо дальше, чем в 100 км (в Северном полушарии), либо ближе (в Южном полушарии). Это легко продемонстрировать на глобусе или на мяче.

Другое решение («на льду Северного Ледовитого океана») сложнее. Надо найти некую точку недалеко от Северного полюса — но дальше, чем в 100 км от него. Пройдя от этой исходной точки 100 км на север, человек потом пойдет по кругу вокруг полюса. Пройдя 100 км, он далее должен пойти на юг по такому меридиану, чтобы, пройдя 100 км, очутиться от исходной точки ровно в 100 км. Таких точек бесчисленное множество. Рассмотрим только две из них.

1) Так как путешествие происходит на небольших (по сравнению с размерами Земли) расстояниях, можно считать, что оно происходит на плоскости. Пусть, пройдя по меридиану на север 100 км, человек очутился в х км от полюса. Пройдя 100 км на восток по части окружности радиусом х, человек далее пошел на юг по меридиану, составляющему угол от первоначального. Пройдя 100 км, он очутился ровно в 100 км от исходной точки. Причем эти 100 км можно считать как по дуге параллели, так и по кратчайшему на сфере расстоянию (при рассмотрении движения на плоскости это будет отрезок прямой: различие на таких малых расстояниях будет ничтожным).

2) Начало такое же, но, очутившись на этот раз ближе к полюсу (расстояние от него также обозначим через х), человек, пройдя на восток 100 км, опишет уже полную окружность вокруг полюса, пересечет свой след и пройдет по дуге окружности радиуса х еще какое-то расстояние (такое же, какое он не дошел до своего следа в предыдущем случае). Далее, свернув на юг и пройдя 100 км, он очутится в 100 км от исходной точки.

Математически решение для случая (2) немного проще. Поэтому рассмотрим именно его. Итак, идя на восток, человек проходит полную окружность радиуса х (ее длина равна 2х), а затем еще немного по дуге длиной х, всего — 100 км. То есть

2х + х = 100,

откуда

= (100 — 2х)/х.

Далее, пройдя 100 км на юг, человек окажется на расстоянии 100 + х км от полюса и на расстоянии 100 км от исходной точки. Последнее расстояние (по дуге большой окружности) равно (100 + х).

Итак, получаем уравнение

(100 + х) = 100.

Подставляя в него полученное ранее выражение для , получаем квадратное (относительно х) уравнение:

х² + 100х — 5000 = 0;

решая его, получаем х = 14. Итак, исходная точка находится в 114 км от Северного полюса. В случае (1) решение аналогично (немного сложнее квадратное уравнение), а х = 71,6 км, т.е. исходная точка находится в 171,6 км от полюса.

Понятно, что таких точек не две. Ведь можно пройти вокруг полюса не один круг (неполный или «с избытком»), а два, три... Это теоретически. Ну, а практически — см. решение задачи 3: человек не может идти по кругу с очень малым радиусом.

Если вместо земного шара взять небольшую планету (или увеличить на Земле расстояние со 100 до нескольких тысяч километров), надо рассматривать движение не на плоскости, а по поверхности шара; в этом случае задача становится намного сложнее и потому здесь не рассматривается. Ее можно предлагать для интересующихся старшеклассников как занимательную задачу по стереометрии.

3. Уйти, чтобы вернуться

Человек прошел 1 км на юг, 1 км на восток и 1 км на север, после чего оказался в том же месте, откуда вышел. Где может быть это место?

а) на Северном полюсе и близ Южного полюса;

б) только на Северном полюсе;

в) только на экваторе;

г) такого места на земном шаре нет.

Выберите правильный ответ и поясните его.

Правильный ответ — а. Первая часть ответа («на Северном полюсе») очевидна: идем от полюса на юг (а оттуда, в каком бы направлении ни шел по прямой, обязательно пойдешь на юг), потом по параллели 1 км на восток (это будет примерно 57,3° по дуге окружности), а потом 1 км к полюсу. При решении задач подобного рода принимаем, что точка полюса определена точно, а за время движения дрейф льдов отсутствует или пренебрежимо мал. В Антарктиде же таких мест бесконечное множество: они находятся от Южного полюса на расстоянии (1 + r) км, где r — радиус круга или нескольких кругов, которые опишет человек, идя вокруг полюса на восток. Находится оно из условия 2rn = 1 км, причем n — число кругов, которое будет описано вокруг полюса, может быть любым натуральным числом. Если n = 1, человек пройдет один круг. Если n > 1, он далее пойдет по собственным следам и опять вернется в ту же точку. Все это легко продемонстрировать с помощью глобуса или даже обычного мяча. Разумеется, «бесконечное множество» точек, постепенно приближающихся к полюсу, возможно только теоретически; человек, например, не может пройти 1 км по кругу, если его радиус равен всего 10 см! Но так как исходная точка маршрута может быть на любом меридиане, число таких точек даже практически может приблизиться к бесконечности.

(Примечание: для младших классов можно ограничиться рассмотрением простейшего случая — Северного полюса, при этом необходимо соответствующим образом изменить варианты ответов.)

Из ответов школьников

— Такая точка есть в любом месте земного шара, кроме моря, так как, стоя в этой точке, человек утонет.

4. Ошибка астронома

В течение многих десятилетий все расстояния между Москвой и другими городами измеряли от здания Московского почтамта. Сравнительно недавно было принято постановление установить новую точку отсчета на Красной площади. Представим себе, что приглашенный специально для этой цели астроном сделал на брусчатке Красной площади отметку краской для будущей точки отсчета, определил ее координаты: 55°45’11’’ (’ означает минуты, ’’ — секунды) северной широты и 37°37’37’’ восточной долготы, а затем уехал в командировку. Рабочие, которым надо было установить в этой точке специальный знак, не нашли этой отметки. Пришлось срочно вызывать другого астронома, который по имевшимся координатам (их оставил первый астроном) сделал новую отметку. Оцените, на каком максимальном расстоянии могли оказаться две отметки?

Решение. Начнем с широты. Она отсчитывается от экватора. Известно, что 1° широты равен 111 км (расстояние от экватора до полюса равно приблизительно 10 000 км, что соответствует 90°, таким образом, получаем 10 000 км/90 = 111 км). Значит, 1’’ широты при движении вдоль меридиана соответствует

10000/(90 x 60 x 60) = 0,03 км = 30 м.

Долгота отсчитывается от нулевого (Гринвичского) меридиана. Длина дуги параллели, соответствующая 1° долготы, конечно, зависит от широты: на полюсе она равна нулю, а на экваторе — те же 111 км. Поскольку широта Москвы близка к 60°, из простых геометрических соображений (рассмотрение прямоугольного треугольника с углами 30° и 60°) получаем, что длина окружности московской параллели в 2 раза меньше длины экватора. Следовательно, одна секунда широты при движении вдоль параллели будет равна примерно 30/2 = 15 м. Таким образом, считая, что максимальная возможная ошибка составляет 1’’ по широте и 1’’ по долготе, вычисляем гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 30 м и 15 м; получаем, что максимальное расстояние между отметками не превосходит

Продолжение следует