Задачи по географии для
интеллектуальных марафонов

И.А. ЛЕЕНСОН
доцент химического факультета
Московского государственного университета
им. М.В. Ломоносова

Продолжение. См. № 22/2005

5. Дрейф литосферных вестибюлей

Два наземных вестибюля станции метро «Университет» в Москве (назовем их условно западным и восточным) снабжены большими табло, на которых высвечивается время.
1 января 2005 г. часы на восточном табло шли вперед по сравнению с западным на 4 минуты, а 1 июля того же года — уже на 5 минут. Проходивший каждый день мимо обеих станций студент геологического факультета МГУ тут же построил теорию о том, что вестибюли оказались на разъезжающихся литосферных плитах, и поэтому разрыв во времени между ними увеличивается.

Какое расстояние между вестибюлями этой станции было 1.01.2005 и с какой скоростью они разъезжались, если предположить, что они расположены на одной параллели, а часы на них показывают истинное солнечное время? Как можно прокомментировать полученное решение?

Решение. На экваторе 1o широты равен примерно 111 км (см. предыдущую задачу). Поскольку широта Москвы близка к 60o, из простых геометрических соображений (рассмотрение прямоугольного треугольника с углами 30о и 60o) получаем, что длина окружности московской параллели в два раза меньше длины экватора и равна 20 000 км. Одному часу разницы местного времени соответствует, таким образом, 20000/24 = 833 км, а 4 минутам — 833/15 = 56 км. Это и есть (в соответствии с условием задачи) исходное расстояние. Далее, увеличению разницы во времени на 1 мин соответствует увеличение расстояния на 14 км, а поскольку прошло 6 месяцев, то нетрудно подсчитать, что скорость составляет 3,2 метра в час.

Комментарий же к этому «решению» очень простой. Уже само по себе расстояние между вестибюлями одной и той же станции в 56 км совершенно нереально. Поскольку такое странное явление, как разъезжание станций, невозможно было бы не заметить даже случайным прохожим, остается предположить, что часы показывали не точное местное время, а то, что им заблагорассудится.

(Кроме того, городские часы вообще не показывают истинное солнечное время, а только то, по которому город живет — поясное с поправкой на декретное и летнее, и это время едино для всего города, как бы он ни был велик. Но эти соображения условно перечеркиваются формулировкой задачи.)

6. Плечом к плечу

Рыбинское водохранилище на Волге, расположенное к северу от Ярославля, имеет приблизительно вид прямоугольника со сторонами 60 x 70 км. Оцените, уместились бы зимой на льду этого водохранилища: а) все жители Москвы; б) все жители России; в) все жители Земли, если бы тесно встали плечом друг к другу? Свой ответ подтвердите приближенным расчетом.

Решение. Площадь водохранилища — 4200 км². Если вы посмотрите на себя (на верхнюю часть туловища, которая требует больше места), то убедитесь, что площадки 50 x 40 см вам вполне хватит. Значит, одному человеку требуется 0,5 x 0,4 = 0,2 м², т.е. на 1 м² можно разместить примерно 5 человек, тогда на 1 км² поместится примерно 5 млн человек, а на льду водохранилища — 21 млрд человек. В Москве проживает примерно 10 млн человек, в России — примерно 150 млн, на всей планете — примерно 6 млрд, и все они свободно уместятся на площади Рыбинского водохранилища.

7. Рост расширяет горизонты

Известно, что для человека среднего роста линия горизонта находится на расстоянии около 5 км. На каком расстоянии будет линия горизонта, если вы подниметесь на самую высокую башню в России — Останкинскую в Москве (высоту считать равной 500 м). Радиус Земли принять равным 6 400 км.

Подобные задачи приходится решать дачникам, которым надо установить телевизионную антенну на такой высоте, чтобы (в отсутствие ретрансляторов) она находилась на расстоянии прямой видимости от передатчика на башне (правда, им надо учитывать, что передатчик находится не на самой верхушке башни).

Решение. Ответ легко получить с помощью чертежа и простых расчетов. Отрезок прямой от глаз человека до самой отдаленной видимой точки на поверхности (считаем Землю идеальным шаром) образует прямой угол с радиусом Земли, проведенным в ту же точку. Принимая приближенно радиус Земли равным 6400 км, получаем, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна (6400 + 0,5) км, один из катетов равен 6400 км, а другой нам надо найти. Составляем уравнение

x² + 6400² = (6400 + 0,5)² = 6400² + 2 • 6400 • 0,5 + 0,5² ,

или x² = 6400 (малой величиной 0,25 можно пренебречь), откуда х = 80 км.

Поднимая антенну на несколько метров, можно увеличить это расстояние. Предполагается, что прохождению прямого сигнала не мешают никакие препятствия.

8. Люди в масштабе 1 : 1

Население России примерно 150 млн человек, которые свободно умещаются на ее территории. Сможет ли на карте России, выполненной в масштабе 1 : 10 000 000 (то есть с уменьшением в 10 млн раз), разместиться в 10 млн раз меньше людей (то есть 15 человек), если эту карту расстелить на земле? Свой ответ поясните.

Решение. Масштаб отражает соотношение линейных размеров, тогда как человеку нужно поместиться на определенной площади. Уменьшению линейных размеров в 10 млн (10⁷) раз соответствует уменьшение площади в (10⁷)² = 10¹⁴ (сто триллионов) раз. Поэтому на карте 15 человек могут и не поместиться. Проверим это. Протяженность России с запада на восток — порядка 10 000 км (точность здесь не нужна), поэтому карта будет длиной примерно 1/1000 км, или 1 м. Понятно, что 15 человек на такой карте не поместятся.

Из ответов школьников

— У меня есть такая карта, но я с трудом на ней умещаюсь.

— Конечно, на карте 15 человек не уместится; вот если бы вы и людей уменьшили в 10 млн раз, тогда другое дело.

— 15 человек уместились бы на такой карте, если бы 150 млн человек жили в одноэтажных домах. Но они живут в многоэтажных домах, поэтому на карте они не уместятся.

9. Периодическая таблица штатов

Пятнадцать символов химических элементов по своему написанию будут совпадать c общепринятыми в США сокращениями названий штатов и территорий, если вторые буквы в символах элементов сделать прописными. Найдите эти символы в периодической таблице элементов и напишите соответствующие географические названия (на русском, а если сможете, то и на английском языке) рядом с символами указанных элементов.

Ответ. Al — алюминий, АL — Alabama (Алабама); Ar — аргон, АR — Arizona (Аризона); Ca — кальций, СА — California (Калифорния); Cо — кобальт, СО — Colorado (Колорадо); Ga — галлий, GА — Georgia (Джорджия); In — индий, IN — Indiana (Индиана); La — лантан, LА — Louisiana (Луизиана), Md — менделевий, МD — Maryland (Мэриленд); Mn — марганец, МN — Minnesota (Миннесота); Mo — молибден, МО — Missouri (Миссури); Ne — неон, NЕ — Nebraska (Небраска); Nd — неодим, ND — North Dakota (Северная Дакота); Pa — протактиний, РА — Pennsylvania (Пенсильвания); Pr — празеодим, РR — Puerto Rico (Пуэрто-Рико); Sc — скандий, SС — South Carolina (Южная Каролина).

10. Земля в иллюминаторе

Аэростат поднимается вверх с постоянной скоростью. Как для наблюдателя отодвигается линия горизонта? Предполагаемые ответы: а) равномерно; б) сначала медленно, потом быстрее; в) сначала быстро, потом медленнее; г) все медленнее в течение всего подъема;
д) вскоре после начала подъема перестает отодвигаться.

Изменится ли ответ, если вместо аэростата рассматривать ракету, удаляющуюся от Земли по направлению ее радиуса? Расстоянием до горизонта считать расстояние от точки старта на поверхности до максимально удаленной точки земной поверхности, наблюдаемой из гондолы аэростата или из иллюминатора ракеты.

Решение. Решим сначала задачу в общем виде, то есть получим формулу зависимости дальности линии горизонта от высоты подъема. Эта задача распадается на две части.

В случае аэростата (максимальный подъем — десятки километров) расстояние до горизонта от точки старта на поверхности или от самого аэростата практически одинаковы (нетрудно показать, что при высоте подъема 20 км они будут отличаться всего на 300 м при дальности горизонта более 500 км). В данном случае, пренебрегая этой разницей, получаем формулу для дальности горизонта x:

(см. решение задачи 7). Это — уравнение параболы, симметричной оси х, то есть получаем степенную функцию с показателем 1/2: при увеличении высоты подъема в 4 раза линия горизонта отодвинется только в 2 раза. Представляют интерес округленные численные значения, получаемые для дальности горизонта, начиная от уровня глаз человека среднего роста (1,6 м) (см. таблицу внизу).

При равномерном подъеме линия горизонта будет отодвигаться все медленнее с самого начала, так что правильный ответ — г.

В случае ракеты, при большом удалении от Земли расстояние от наблюдателя в ракете до линии горизонта х может оказаться значительно больше расстояния от точки старта до той же линии по земной дуге длиной l, пренебрегать этой разницей нельзя. Здесь, в отличие от полученной ранее формулы, бесконечно горизонт отодвигаться не может: нельзя увидеть больше половины поверхности земного шара, то есть дальше примерно 10 000 км (и то для этого надо удалиться от Земли на бесконечно большое расстояние). Из простого чертежа получаем формулы для расчета расстояния до линии горизонта от ракеты (х) и от точки старта (l):

l = (pR/180)arccosR/(R + h) = 111,6 • arccos R/(R + h) км.

Приведем округленные значения l и х в зависимости от высоты h (все значения в километрах):

Из таблицы хорошо видно, как быстро увеличивается разница между х и l. Ответ же на поставленный вопрос в этом случае будет таким же: линия горизонта отодвигается еще более медленно, чем при подъеме на аэростате.

Продолжение следует