Сколько до центра?

К.С. ЛАЗАРЕВИЧ

Земля имеет форму шара. Эта истина должна быть для географов непреложной, несмотря ни на какие разговоры о сплющенности Земли у полюсов. Глобус с диаметром, равным высоте классной комнаты, нужно придавить с каждого полюса лишь на полсантиметра, чтобы показать эту сплющенность. Разрез Земли, изображенный на тетрадном листе (примем экваториальный диаметр равным 150 мм), касаясь у экватора проведенной циркулем окружности, у полюсов будет отходить от нее на 0,25 мм, то есть примерно на толщину линии самой этой окружности. Географические процессы во многом обусловлены формой Земли (зональность, общая циркуляция атмосферы), но именно ее шарообразностью, на сплюснутость же не реагируют совершенно.

Когда же пришла пора измерять Землю, строить точные карты, — вот тут-то эта сплющеннось и проявилась. Форма планеты не может быть точно описана математической формулой. Пришлось подбирать геометрическое тело, которое может быть охарактеризовано более или менее простой формулой и наиболее близко напоминает форму Земли. Это — эллипсоид вращения, то есть тело, которое образуется в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Земля вращается, поэтому ось вращения эллипса совместили с осью Земли. Так как Земля сплюснута у полюсов, вращать эллипс стали вокруг его короткой оси.

Измерение Земли очень сложно, у разных ученых получаются разные результаты; в России применяется эллипсоид, вычисленный в 1940 г. Феодосием Николаевичем Красовским. Малая полуось эллипсоида Красовского (расстояние от центра до полюса)

R_p  = 6 356 853 м,

большая полуось (от центра до экватора)

R_e = 6 378 245 м.

Поверхность эллипсоида Красовского не более чем на первые десятки метров отстоит от уровня океана, форму которого принимают за истинную форму Земли. Поэтому все вычисления будем вести относительно эллипсоида.

Итак, полярный радиус земного эллипсоида на 21 392 м короче экваториального; экватор отстоит от центра Земли примерно на 21,4 км дальше, чем полюс. Это значит, что вершина горы с абсолютной высотой (Н) 1 км на полюсе будет на 19,4 км ближе к центру Земли, чем дно ямы такой же глубины (здесь Н будет отрицательной величиной) на экваторе.

Расстояние R₀ поверхности эллипсоида от центра Земли на произвольной широте определяется по формуле.

Для любителей математики приводим эту формулу:

,

где R_e — экваториальный радиус земного эллипсоида,

R_p — полярный радиус земного эллипсоида,

— широта места.

Нетрудно увидеть, что для полюса R₀ = R_p, для экватора R₀ = R_e.

Чтобы определить, на каком расстоянии от центра Земли находится та или иная точка реальной (то есть со всеми горами и впадинами) земной поверхности, а также любая точка над или под поверхностью, нужно прибавить к расстоянию R₀ абсолютную высоту точки; не следует забывать, что это сложение — алгебраическое, ведь абсолютная отметка может быть и отрицательной.

Многозначные числа при сравнении не так наглядны, как короткие, поэтому отсчет будем производить не от центра Земли, а от того расстояния, на которое отстоит от него уровень моря на полюсе.

Сплюснутость Земли вносит довольно существенные поправки в расстояние точек от центра Земли. Казалось бы, дальше всего от центра должна отстоять высочайшая вершина Земли, а ближе всего к нему должно быть дно самой глубокой океанической впадины. Ничуть не бывало. Уровень моря, от которого отсчитывают глубину Марианской впадины, отстоит от центра Земли почти на 20 км дальше, чем в Гренландском море, и дно вдвое более глубокого Марианского жёлоба оказывается на 15,5 км дальше от центра, чем самая глубокая точка Гренландского моря (таблица). Гора Чимборасо находится почти на экваторе, уровень моря там отстоит от центра Земли на 4,7 км дальше, чем на широте Джомолунгмы, которая, несмотря на то, что на 2,5 км выше, проигрывает в расстоянии от центра более чем на 2 км.

На рисунке окружности показывают равные расстояния от центра Земли, они проведены через 5 км. Только масштаб резко преувеличен (примерно в 160 раз по сравнению с масштабом радиуса Земли), иначе, как мы уже успели убедиться, никакой разницы в расстояниях видно не будет. Жирной линией проведена поверхность эллипсоида. То, что масштаб радиуса Земли и масштаб неровностей на шаре сильно различаются, вызывает искажение фигуры, получился уже не эллипсоид, а некая хоть и симметричная, но неправильная фигура, у полюсов можно даже заметить некоторую вогнутость.

На полюсах и на экваторе поверхность эллипсоида параллельна окружностям, при отклонении на 1° широты ее расстояние от центра Земли меняется на какие-нибудь два десятка метров. В средних же широтах, около 45°, поверхность эллипсоида пересекает окружности под большим углом (впрочем, он кажется большим только при резко преувеличенном масштабе, на самом деле это 5—6 угловых секунд), и при изменении широты на 1° расстояние эллипсоида от центра Земли меняется без малого на 400 м. Резкая разница на чертеже в масштабах радиуса Земли и приповерхностной ее части приводит к тому, что направление к центру Земли в средних широтах оказывается не перпендикулярным к поверхности эллипсоида, поэтому горы и впадины кажутся наклоненными.

Таким образом, самая близкая к центру Земли точка поверхности литосферы совпадает с наиболее глубокой точкой дна Гренландского моря, а самая дальняя — вершина горы Чимборасо. Возможно, в справочных материалах вы найдете цифры, несколько отличающиеся от приведенных здесь; это можно объяснить тем, что при одних вычислениях за нуль принимался уровень моря, при других — эллипсоид Красовского, при третьих — какой-то из эллипсоидов, принятых в других странах (например, эллипсоид Бесселя).

Если же захотите узнать, на каком расстоянии от центра Земли находится любая точка, широту и абсолютную отметку которой вы знаете, вычислите R₀ по формуле и прибавьте абсолютную отметку. Сложно? Тогда воспользуйтесь чертежом. По нему можно с точностью, которая вполне удовлетворительна, найти, насколько на каждой широте поверхность эллипсоида отстоит дальше от центра Земли, чем уровень моря на полюсе. Прибавьте к этой величине абсолютную отметку точки (или отнимите, если она отрицательна). К полученному результату прибавьте полярный радиус Земли — 6 356,85 км.

Формулу для расчета вывел
сотрудник редакции газеты «Математика»
В.М. Бусев

Таблица

Расстояние от центра Земли
некоторых характерных точек поверхности литосферы
по сравнению с полярным радиусом

Расстояние от центра Земли
некоторых точек поверхности литосферы